梯形花键滚刀及其齿顶圆弧的设计

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1、问题的提出

我公司向美国用户提供的多种OEM 样件常因非渐开线花键齿根圆角半径达不到要求而无法得到批量供货订单。对于一些需要滚齿加工的零件，由于齿根圆角的加工问题无法解决，不得不以昂贵的价格从国外进口刀具。如加工图1 所示的七齿梯形花键，其中ra=59.728mm，rf=50.419±0.125mm，rh=53.34mm，Sh=22.504mm，ri=1.575±0.25mm，e=1.709mm，b=16.85°，h=28.15°，rf=42.742mm。若用按常规滚刀设计方法设计的滚刀进行加工，当工件齿根圆直径取中差时，齿根圆角仅为1.03mm，不能满足用户要求。为此，本文介绍一种新的滚刀设计方法，用该方法设计的滚刀可滚切加工齿根带有定值圆角且齿根圆直径有公差要求的梯形花键。

2、设计原理

滚刀加工梯形花键的过程实质上是滚刀与梯形花键展成啮合的过程。因此，设计梯形花键滚刀时应遵循啮合原理。为使问题简化，我们按平面啮合原理来设计滚刀。

3、梯形花键滚刀的设计方法

节圆半径的确定

与直边花键或三角花键滚刀的设计方法相同，梯形花键滚刀的设计也应首先确定合理的工件节圆半径。如节圆半径选取不当，则可能造成工件齿顶切不出来或工件齿根过渡曲线太高的问题。对于齿顶有倒角的梯形花键，其节圆半径应按下式计算：

rj=ra-e (1)

式中：rj——工件节圆半径

ra——工件齿顶圆半径

e——倒角沿齿侧直线方向的长度

计算出的节圆半径应满足ra≥rj≥rf，为防止工件齿顶切不出来，rj应满足

rj≥ (ra2-0.75a2)½

式中，a为工件形圆半径，a=rf'sine，rf'和e分别为工件理论内径半径和工件齿槽半角。工件齿槽半角e=(p/Z)+h，Z 和h分别为工件的齿数和齿厚半角。

工件直线部分对应的滚刀齿形设计

工件直线部分对应的滚刀齿形设计方法与常规方法相似，不同的是最大啮合角应按工件直线齿形终点半径计算，而不是按工件齿根圆半径计算，这是因为滚刀齿顶部分增加了圆角的缘故。

图2

工件直线齿形对应的啮合线上点的坐标

如图2所示，建立工件坐标系XOY及滚刀坐标系X0PY0。图中P为啮合节点，M为啮合线上的任意点，ax为M点的啮合角。从图中可推导出，当工件转过f角后，M点的坐标为

{ XM=-rj(sinax-sinaj)cosax

YM=rj-rj(sinax-sinaj)sinax

(2)

式中，aj为工件节圆上的齿形角，aj=arcsin( a/rj)。式(2)即为啮合线方程。

由图2还可得到M点的半径为

rM=OM=(Xx2+Yx2)½

将式(2)代入上式整理后得

rM=rj(1+sin2aj-sin2ax)½ (3)

将上式变换后可得

cosax=[(rM/rj)2-sin2aj]½ (4)

在图1中，设H点为已知弦长的圆与工件齿侧直线的交点，F点为工件直线齿形的终点(亦称转变点)。利用式(4)和式(2)就可得出与F点和H点对应的啮合线上点的坐标(XH，YH)和(XF，YF)以及aF。

由啮合线上的点求滚刀齿形上的对应点

由啮合原理可知，当工件转过f角后，滚刀同时移动了距离rjf，由此可求出与啮合线上任意点M对应的滚刀齿形上的M0点在X0PY0坐标系中的坐标为

{ X0M=rjf+XM

Y0M=rj-YM

(5)

由图2可知，f=ax-aj，将式(2)代入式(5)可得

{ X0M=rj(ax-aj)-rj(sinax-sinaj)cosax

Y0M=rj(sinax-sinaj)sinax

(6)

前面已算出了F点和H点在啮合线上对应点的坐标，因此可由式(5)或式(6)得到滚刀齿形上对应点F0和H0的坐标(X0F，Y0F)和(X0H，Y0H)。

由F0点、H0点和P点的坐标可求出替代滚刀齿形的圆弧的中心坐标(Xa，Ya)及半径Ra。

图3

加工工件齿根圆角的滚刀齿形设计

滚刀滚切工件时，滚刀的刀尖角必须在工件齿根形成过渡曲线，如将这段过渡曲线近似看作圆弧，则该近似圆弧的半径往往偏小而达不到加工要求；如果调节节圆半径，又受到工件齿顶倒角值和齿根转变点F点直径的限制，调节幅度有限而效果甚微。

如将滚刀齿顶作成圆角而不是尖角，则效果可大为改观。此时，在工件齿根形成了过渡曲线的等距线，该等距线的近似圆弧半径增大了许多。滚刀齿顶圆角半径的合理取值可通过图3进行定量分析。由图3可知

a1=arctan( YOF-Ya )

Xa-XOF

(7)

由图3还可看出

rc(1-sina1)=hao-YOF

因此可得

rc= hao-YOF

1-sina1

(8)

式中，hao为滚刀齿顶高，可按hao=rj-rf进行计算，其中rf为工件齿根圆半径。a1为中间计算参数，可由式(7)算出。

将式(8)和式(6)加以合并，可得

rc= rj[1-(sinaF-sinaj)sinaF]-rf

1-sina1

(9)

式中，rc为滚刀齿顶圆角半径，aF为F点啮合角，可将转变点F 的半径代入式(4)算出。

由图3得知，滚刀齿顶圆角的中心点O1的坐标为

{ X01=X0F+rccosa1

Y01=Y0F-rcsina1

(10)

确定了滚刀齿顶圆角的半径和圆心坐标后，可按以下方法判断滚刀齿顶是单圆弧还是双圆弧：设Sno为滚刀法向弧齿厚，则Sno应等于工件节圆上齿槽所对应的弧长，即Sno=2rj(e-aj)。由图3中可以看出，如X01<Sno/2，则滚刀齿顶由两段圆弧和一条直线构成。

图4

图5

工件齿顶倒角部分对应滚刀齿形的设计

如图4 所示，滚刀上对应于工件齿顶倒角部分的倒角尺寸可按下式计算：

{ x=p/2-aj-b

h4=[ecos(b+aj)]/cosb

(11)

式中：e——工件齿顶沿齿侧直线方向的长度

b——齿顶倒角与齿侧直线延长线的夹角

h4——滚刀齿根部倒角到滚刀节线的垂直距离

x——滚刀倒角与滚刀节线的夹角

滚刀其余参数的设计

滚刀其余参数可按常规方法进行设计。但需说明，滚刀法向齿距tn等于工件节圆的周节，即tn=2prj/Z，而滚刀长度应与tn一致。

4、工件齿根圆角半径的验算

设计滚刀时，是按工件直线齿形终点F的直径来确定滚刀齿顶圆角。滚刀齿顶圆角加工出的延伸渐开线的等距线与工件齿根圆的切点D的位置可按以下方法确定。如图5 所示，建立坐标系X0O0Y0，滚刀齿顶圆角的圆心O1在Y0轴上，距X0轴的高度为Y01=rj-(rf+rc)。同样，在工件上也建立坐标系X'OY'，在滚刀的初始位置Y'轴与Y0轴重合。

设B点为延伸渐开线的等距线上的点，当滚刀节线在工件节圆rj上滚动时，O1点的运动轨迹是以Y'轴为对称轴的延伸渐开线，而B0点的运动轨迹为延伸渐开线的等距线。

当滚刀节线绕工件节圆滚动w角，O1点由延伸渐开线的顶点C移到G点，而B点由延伸渐开线的等距线上的D点移动到F点，则w角可按以下计算取值。

由图5可得到O1点在X'OY'坐标系中的坐标为

{ X01'=( rf+rc)sinw-(rjw)cosw

Y01'=(rf+rc)cosw+(rjw)sinw

(12)

P2=X01'2+Y01'2=(rf+rc)2+(rjw)2

由图5可见OO12=OK2=GK2=(OE+EK)2+FE2，将OE=rjsinaj，EK=rc，FE2=OF2-OE2代入上式得

OO12=rF2+rc2+2rjrcsinaj

由于P=OO1，故有

rF2+rc2+2ra rjsinaj=(rf+rc)2+(rjw)2

则

w= [rF2-rf2+2rc(rf-rjsinaj)]½

rj

(13)

式中，rF为转变点F的半径。从图中可知

tan(w+q)= |XF|

YF

q=arctan( |XF| )-w

YF

(14)

图6

设图5中F点关于Y'轴对称的过渡曲线等距线上的点为F'。过F 点、D 点及F'点可作一近似圆弧，现求这一近似圆弧的半径R'。如图6所示，OE'=rFcosq，OD=rf，故DE'=rfcosq-rf，又因FE'=rFsinq，由勾股定理可得

R'= rF2-2rFrfcosq+rf2

2(rFcosq-rf)

(15)

上式计算的R'应在ri要求的公差范围内，否则必须调整rf或rF重新进行设计。

对于本例的计算，工件齿根圆取中差，滚刀齿顶为尖角时，其工件齿根过渡曲线的近似圆弧半径为1.03mm；如果滚刀齿顶增加rc=0.373mm的圆角，则形成的过渡曲线的近似圆弧半径就增大到1.353mm，满足ri=1.575±0.25mm的要求。

5、结语

本文介绍了加工齿根为定值圆角且齿根圆有公差要求的梯形花键所用滚刀的设计方法，该方法的关键要点在于确定工件直线齿形终点，分别进行直线齿形和过渡曲线的设计，其重点是确定滚刀齿顶圆角半径的大小。该方法简便实用，不仅适用于梯形花键滚刀的设计，同样适用于直边花键和三角花键等非渐开线滚刀的设计。